Petite énigme mathématique : +1=-1 ?!

[Ekho]

A la fac, avec un copain, on se donne réguliérement et à tour de role des énigmes à résoudre... Et j'ai du mal sur la derniére qu'il ma donné, donc je la soumet à ceux que ça tente :

-1 = (-1)^1 = (-1)^(2/2) = [(-1)²]^(1/2) = racine((-1)²) = racine(1) = 1

Donc : -1 = 1 !

Où est l'erreur ?! Je suis sûr que c'est un truc tout con, mais je ne la vois pas...


Voici ce que j'ai trouvé de mon coté : (-1)^1 = e^(1*ln(-1)) or ln(-1) n'existe pas ! Mais on a alors le même probleme pour (-1)² qui existe bien !

[Jack_O'Neill_C4]

Ton explication, j'ai pas compris. Les ln, c'est trop loin pour moi
Voila ce que j'ai trouvé:

En fait l'erreur est à (-1)^(2/2) = [(-1)²]^(1/2)
car (-1)^(2/2) =(-1)^(1) = -1
et [(-1)²]^(1/2) = 1^(1/2) = racine 1 = 1

C'est a ce niveau la que l'égalité est fausse

[DarkRod]

houla quand je vois une division j ai du mal alors la

[Goycar]

-1 = (-1)^1 = (-1)^(2/2) = [(-1)²]^(1/2) = racine((-1)²) = racine(1) = 1

Pour faire arrivé l'équation, tu n'as qu'à mettre tout en valeur absolue comme ceci :

|-1| = |(-1)^1| = |(-1)^(2/2)| = (-1)²^(1/2) = racine((-1)²) = racine(1) = 1

C'est comme cela que je réglerais cette équation

[nightwing]

Ouais, en gros il s'agit d'un problème de valeur absolue: la racine carrée de -1² (donc la racine carrée de 1) peut aussi bien être 1 ou -1.

Les 2 valeurs sont possibles! La seule "erreur" de calcul, c'est qu'on choisi la valeur positive de la racine au lieu de prendre la négative.
L'alternative choisie (prendre la valeur positive) est, hors des 2, le mauvais choix.

Je vois que ça...

[Ekho]

En fait l'erreur est à (-1)^(2/2) = [(-1)²]^(1/2)
car (-1)^(2/2) =(-1)^(1) = -1
et [(-1)²]^(1/2) = 1^(1/2) = racine 1 = 1

C'est a ce niveau la que l'égalité est fausse

Je suis d'accord avec toi, mais on peux faire ce que tu fais là à tous les niveaux de l'égalité, donc ça ne démontre pas que c'est faux !

Pour faire arrivé l'équation, tu n'as qu'à mettre tout en valeur absolue comme ceci :

|-1| = |(-1)^1| = |(-1)^(2/2)| = (-1)²^(1/2) = racine((-1)²) = racine(1) = 1

C'est comme cela que je réglerais cette équation

Hum ! Ce n'est pas une équation à résoudre ! C'est une énigme : la démonstration est forcément fausse, mais il faut le démontrer et trouver où est l'erreur !

Ouais, en gros il s'agit d'un problème de valeur absolue: la racine carrée de -1² (donc la racine carrée de 1) peut aussi bien être 1 ou -1.

Les 2 valeurs sont possibles! La seule "erreur" de calcul, c'est qu'on choisi la valeur positive de la racine au lieu de prendre la négative.
L'alternative choisie (prendre la valeur positive) est, hors des 2, le mauvais choix.

Je vois que ça...

Effectivement, j'y ai aussi pensé ! Mais ça ne résout pas le probleme ! Car le truc exact est : racine(1) = 1 ou -1. Les deux résultats sont possibles ! Donc qu'on prenne l'un ou l'autre, c'est juste ! Dans le cas de mon énigme, on peux prendre 1 ou -1 de la même maniere ! Avec 1, ça ne pose pas de probleme, mais avec -1...

[Bubu]

Oui, l'équation est fausse à partir du moment où tu ecris ça:

(-1)^(2/2) = [(-1)²]^(1/2)

racine((-1)²) n'est pas égal à -1, mais à -1 ou 1.

Pour la suite de ton équation tu "oublie" volontairement une des solutions on ne gardant qua la solution négative.

Plus tard,

racine(1) = 1

C'est également faux, puisque racine(1) = 1 ou -1

tu fais l'inverse, tu ne conserve que la moitié positive de la solution, c'est pourquoi tu arrive au 1 = -1

Pour que ce soit juste, il faut prendre en compte chaque fois les deux possibilités:

-1 = (-1)^1 = (-1)^(2/2)
=( [(-1)²]^(1/2) OU [(1)²]^(1/2) )
= ( racine((-1)²) OU racine((1)²) )
= ( racine(1) OU racine (1) )
= ( ( 1 ou -1) OU (1 ou -1))
= ( 1 ou -1 )

A partir de là ton équation est bien juste, puisque -1 est bien égal à 1 ou -1

En tout cas, c'est comme ça que je justifierais le truc.

[Ilu]

-1 = (-1)^1 = (-1)^(2/2)
=( [(-1)²]^(1/2) OU [(1)²]^(1/2) )
= ( racine((-1)²) OU racine((1)²) )
= ( racine(1) OU racine (1) )
= ( ( 1 ou -1) OU (1 ou -1))
= ( 1 ou -1 )

A partir de là ton équation est bien juste, puisque -1 est bien égal à 1 ou -1

En tout cas, c'est comme ça que je justifierais le truc.

Je te reprends un tout petit peu Bubu...
(-1)^(2/2) peut tout à fait s'écrire (-1)^2^(1/2), ça ne pose aucun soucis mathématique.
D'ailleurs quand tu écris ( [(-1)²]^(1/2) OU [(1)²]^(1/2) ), tu écris bien deux fois la même chose... (parce que -1² = 1²...) D'ailleurs tu arrives à la 4ème ligne à sqrt(1) OU sqrt(1)....

L'erreur se situe bien au moment de la simplification de la racine.
1^(1/2) = 1 OU -1
On arrive donc à -1 = 1 OU -1, et surtout pas à 1 !!

[Ekho]

Je ne suis pas d'accord avec toi sur plusieurs points Bubu :

racine((-1)²) n'est pas égal à -1, mais à -1 ou 1.

Tout d'abord, ça, selon moi, c'est archi faux ! Un carré est forcément positif (à moins qu'on ait à faire à un nombre complexe). Donc (-1)²=1, et il n'y a pas d'autre solution !

Plus tard,

racine(1) = 1

C'est également faux, puisque racine(1) = 1 ou -1

tu fais l'inverse, tu ne conserve que la moitié positive de la solution, c'est pourquoi tu arrive au 1 = -1

Là non plus, je ne suis pas tout-a-fait d'accord ! A mon avis, la vrai réponse est "racine(1) = 1 et -1" ! ( Je sais, j'ai fait la même erreur dans un post précédent. ). Et c'est bien vérifié : (-1)²=1 et 1²=1 !

Du coup, effectivement, on arrive à deux solutions : 1=1 et 1=-1 ! Le "1=1", on s'en fout, et on s'interresse à 1=-1 ! Car les deux solutions sont à envisager, mais la premiere ne présente aucun interret, voilà pourquoi on l'"oublie"...

[Gonishi]

Je suis d'accord avec nightwing et bubu

C'est exactement comme lorsque tu résouds une équation du 2nd degré, t'as tjrs 2 résultats. En général on prend en compte celui qui correspond à ce que l'on cherche. Le OU est très important.
C'est comme si dans un programme tu enlevais un OU pour le remplacer par une solution unique, tu trouveras forcément des résultats faux.

[Ekho]

Ben si c'était bien "ou", je suis d'accord avec vous... Mais il me semble que c'est "et" et non pas "ou" !

[Gonishi]

Je ne suis pas d'accord avec toi sur plusieurs points Bubu :

racine((-1)²) n'est pas égal à -1, mais à -1 ou 1.

Tout d'abord, ça, selon moi, c'est archi faux ! Un carré est forcément positif (à moins qu'on ait à faire à un nombre complexe). Donc (-1)²=1, et il n'y a pas d'autre solution !

Plus tard,

racine(1) = 1

C'est également faux, puisque racine(1) = 1 ou -1

tu fais l'inverse, tu ne conserve que la moitié positive de la solution, c'est pourquoi tu arrive au 1 = -1

Là non plus, je ne suis pas tout-a-fait d'accord ! A mon avis, la vrai réponse est "racine(1) = 1 et -1" ! ( Je sais, j'ai fait la même erreur dans un post précédent. ). Et c'est bien vérifié : (-1)²=1 et 1²=1 !

Du coup, effectivement, on arrive à deux solutions : 1=1 et 1=-1 ! Le "1=1", on s'en fout, et on s'interresse à 1=-1 ! Car les deux solutions sont à envisager, mais la premiere ne présente aucun interret, voilà pourquoi on l'"oublie"...

c'est pas 1² le problème mais racine(1), racine(1) = 1 OU -1 c'est la seule expression correcte. racine(1) = 1 est faux.

edit : non c'est OU et pas ET. Le résultat d'une racine est une expression booléenne, essai de mettre un ET et tu obtiendras des résultats abhérant du style 1 = -1, c'est donc bien OU et pas ET.

[Ilu]

Ben si c'était bien "ou", je suis d'accord avec vous... Mais il me semble que c'est "et" et non pas "ou" !

Non non, c'est bien OU, aucun doute là dessus

Et là c'est plus des maths, c'est du français...

La racine de 1 peut être 1 (car 1² = 1) OU BIEN peut être -1 (car (-1)² = 1)

[Ekho]

Mais t'es sûr que c'est "ou" ?! C'est pas "et" ? Parce que ça change tout !!!

EDIT : Ben non Ilu ! Moi, je dirais que racine(1) a deux solutions : -1 ET 1 !

[Gonishi]

Mais t'es sûr que c'est "ou" ?! C'est pas "et" ? Parce que ça change tout !!!

EDIT : Ben non Ilu ! Moi, je dirais que racine(1) a deux solutions : -1 ET 1 !

C'est impossible en mathématiques qu'une chose soit égale à un truc ET à un autre truc. C'est tjrs OU.

C'est comme le résultat d'une équation à plusieurs degrés, t'as tjrs plusieurs solutions et on dit tout le temps OU. On ne dit jamais x=2 ET x=-10

EDIT : Ben non Ilu ! Moi, je dirais que racine(1) a deux solutions : -1 ET 1 !

Oui mais là tu dis "a 2 solutions : la solution -1 et la solution 1".
Ca veut dire ça.
Ca ne veut pas dire 1 = -1 et 1 = 1

[Ilu]

EDIT : Ben non Ilu ! Moi, je dirais que racine(1) a deux solutions : -1 ET 1 !

Ekho, même si mes années de math sup math spé sont loin, je reste tout à fait certain à 100% que c'est bien un OU qu'il faut mettre.

Je vais essayer de te re-convaincre.

Prends un nombre a (dans R ou dans C)

Tu sais que a = (1)^(1/2)

Tu voudrais savoir combien vaut a.


Est-ce que tu crois que tu peux dire que a = 1 ET -1 ?

Bien sûr que non, puisque a est un nombre, il ne peut pas en valoir 2 en même temps...

Par contre, dire que a = 1 OU -1 est tout à fait correct.

On ne sait pas si a vaut 1, on ne sait pas si a vaut -1, mais par contre, on est sûr que ça sera soit l'un, soit l'autre. Donc OU

[Gonishi]

Très bonne explication Ilu, j'avoue, je suis pas très doué pour être clair.

edit : en faite Ekho il ne faut pas que tu mélanges le français et les maths, là quand on parle de ET et de OU, il faut bien se mettre dans le contexte d'expression booléenne. En français par abus de langage, on n'emplois pas tjrs le bon terme, donc ce n'est pas forcément à prendre comme référence.

[Ekho]

EDIT : Ben non Ilu ! Moi, je dirais que racine(1) a deux solutions : -1 ET 1 !

Ekho, même si mes années de math sup math spé sont loin, je reste tout à fait certain à 100% que c'est bien un OU qu'il faut mettre.

Je vais essayer de te re-convaincre.

Prends un nombre a (dans R ou dans C)

Tu sais que a = (1)^(1/2)

Tu voudrais savoir combien vaut a.


Est-ce que tu crois que tu peux dire que a = 1 ET -1 ?

Bien sûr que non, puisque a est un nombre, il ne peut pas en valoir 2 en même temps...

Par contre, dire que a = 1 OU -1 est tout à fait correct.

On ne sait pas si a vaut 1, on ne sait pas si a vaut -1, mais par contre, on est sûr que ça sera soit l'un, soit l'autre. Donc OU

M'oui, tu as sans doute raison... Pourtant, mon année de Math Sup n'est pas si loin...

Donc, pour résumer, l'erreur de l'énigme est simplement dans la derniére égalité, à savoir racine(1) = 1 ou -1, c'est ça ? Il suffit de dire que ça ne peux pas être -1, point final.

Ch'uis presque déçu : c'est un peu facile... En plus de ça, celui qui m'a posé l'enigme m'a donné un indice comme quoi il fallait utiliser une démo avec les ln !

PS : Ilu, qu'est-ce que tu pense de (-1)² = e^(2*ln(-1)) alors que ln(-1) n'existe pas ?!

[Ilu]

PS : Ilu, qu'est-ce que tu pense de (-1)² = e^(2*ln(-1)) alors que ln(-1) n'existe pas ?!

Non non ça ne marchera pas...
Si ln(-1) n'existe en effet pas, par faute de la fonction ln en elle même qui n'est définie que sur ]0;+infini[, il n'empêche qu'on peut donner une valeur si on veut...

Je veux dire, écrire ln(-1) c'est pas mathématiquement plus faux qu'écrire (-1)^(1/2) (car la fonction racine n'est également normalement définie que sur [0;+infini[, ça nous empêche pas de l'écrire...)

Donc ln(-1) "n'existe pas", ou du moins n'est pas correct mathématiquement à écrire, mais par contre on peut trouver un nombre a qui va vérifier exp(a) = -1

Ce nombre, ça sera par exemple i*Pi (modulo 2Pi), puisque exp(i*Pi) = -1

Ainsi, (-1)² = e^(2*ln(-1)) = e^(2*i*Pi) = e^0 = 1
Y'a pas de contradiction là dedans, si ce n'est qu'on s'est autorisé à élargir l'intervalle de définition de ln à R* . En fait la partie que j'ai noté en gras n'est pas mathématiquement correct, mais plus par défaut de la définition de ln que par réelle incohérence Si ça a été fait comme ça, c'est justement pour éviter d'introduire des nombres complexes là où y'en a pas forcément besoin.

[Savarog]

moi je comprens rien désolé